Na natureza, a matéria é feita de átomos. Eles são os blocos fundamentais de todas as coisas que vemos no nosso dia-a-dia. Entender a sua estrutura e como se combinam é, portanto, fundamental para que possamos usá-los ao nosso favor.
Um fenômeno semelhante ocorre com números. Os números naturais ( aqueles que contamos: 1, 2, 3, ...) também têm seus blocos fundamentais, a partir dos quais todos são construídos: os números primos.
Na escola, aprendemos que um número natural é primo quando é divisível somente por 1, e por ele mesmo. Por exemplo, 5 é primo, mas 6 não é, pois 2 e 3 dividem 6. Esta habilidade de não poderem ser divididos de maneira não trivial, é o que os faz tão importantes.
Os números primos aparecem em diversas culturas, desde o antigo império chinês, sendo notados pelos babilônicos, egípcios e persas. Há tábuas que indicam que os números primos já eram conhecidos 3000 anos antes de Cristo. De fato, há registros mais antigos, de que homens do período paleolítico já entendiam que estes números eram especiais, mas estes são de natureza mais especulativa.
A natureza já parece ter os notado a muito mais tempo. Há certas classes de insetos que vivem nos EUA, que tem ciclos de vida primos. Uma espécie passa 13 anos adormecida em seus ovos, e então eclode aos milhões, vive por um curto período, reproduz-se e morre. A outra espécie, passa 17 anos adormecida, eclode, vive por um curto período, reproduz-se e morre. Caso estas duas espécies se encontrassem simultaneamente no mesmo lugar, haveria grandes problemas em obter alimento e na reprodução, o que causaria um problema na sobrevivência das espécies.
Digamos que elas tivessem escolhido ciclos de vida de 6 e 8 anos. Então elas se encontrariam a cada 24 anos, o que poderia colocar as espécies em sérios riscos. O leitor pode argumentar que meu exemplo é ruim, já que ambos os números são menores que os ciclos reais. Bom, suponhamos então que estes ciclos fossem de 24 e 18 anos. Elas se encontrariam a cada 72 anos. E de quanto em quanto tempo elas de fato se encontram? Com seus ciclos reais, as duas espécies se encontram a cada 221anos.
Mas como isso ocorre? Mesmo com ciclos de vida maiores, o número de encontros em um dado período de tempo ainda é maior?
A resposta é simples. As duas espécies se encontram cada vez que temos um número de anos múltiplo de seus ciclos de vida. O período mínimo para que o encontro aconteça, será portanto o mínimo múltiplo comum (m.m.c) dos dois números. Para que este período seja maximizado, é necessário que este m.m.c seja o maior possível. Isto acontece exatamente quando os dois números envolvidos são primos.
A natureza parece ter escolhido estes dois períodos de maneira cuidadosa, de modo que a chance de encontros fosse minimizada.
Já que estes números primos são os blocos fundamentais da aritmética, assim como os elementos químicos os blocos constituintes da natureza, por analogia, deve ser importante entender quem eles são, e como se combinam.
A escola grega foi um divisor de águas na história da matemática. Com os trabalhos de Euclides, Aristóteles, Ptolomeu, Apolonius, dentre outros, a matemática começou a deixar de ser alquimia, e tornar-se ciência.
Os matemáticos começaram a no lugar de colecionar fatos isolados, tentar entender o todo.
Foi um destes gregos, Euclides, que estabeleceu os primeiros importantes resultados relativos a números primos. Euclides mostrou que eles de fato, são os átomos da aritmética, resultado que está contido no teorema abaixo. O leitor pode pular a prova do teorema sem nenhum prejuízo ao entendimento do texto.
Teorema 1: Todo número natural maior que 1 pode ser escrito como produto de números primos.Um fenômeno semelhante ocorre com números. Os números naturais ( aqueles que contamos: 1, 2, 3, ...) também têm seus blocos fundamentais, a partir dos quais todos são construídos: os números primos.
Na escola, aprendemos que um número natural é primo quando é divisível somente por 1, e por ele mesmo. Por exemplo, 5 é primo, mas 6 não é, pois 2 e 3 dividem 6. Esta habilidade de não poderem ser divididos de maneira não trivial, é o que os faz tão importantes.
Os números primos aparecem em diversas culturas, desde o antigo império chinês, sendo notados pelos babilônicos, egípcios e persas. Há tábuas que indicam que os números primos já eram conhecidos 3000 anos antes de Cristo. De fato, há registros mais antigos, de que homens do período paleolítico já entendiam que estes números eram especiais, mas estes são de natureza mais especulativa.
A natureza já parece ter os notado a muito mais tempo. Há certas classes de insetos que vivem nos EUA, que tem ciclos de vida primos. Uma espécie passa 13 anos adormecida em seus ovos, e então eclode aos milhões, vive por um curto período, reproduz-se e morre. A outra espécie, passa 17 anos adormecida, eclode, vive por um curto período, reproduz-se e morre. Caso estas duas espécies se encontrassem simultaneamente no mesmo lugar, haveria grandes problemas em obter alimento e na reprodução, o que causaria um problema na sobrevivência das espécies.
Digamos que elas tivessem escolhido ciclos de vida de 6 e 8 anos. Então elas se encontrariam a cada 24 anos, o que poderia colocar as espécies em sérios riscos. O leitor pode argumentar que meu exemplo é ruim, já que ambos os números são menores que os ciclos reais. Bom, suponhamos então que estes ciclos fossem de 24 e 18 anos. Elas se encontrariam a cada 72 anos. E de quanto em quanto tempo elas de fato se encontram? Com seus ciclos reais, as duas espécies se encontram a cada 221anos.
Mas como isso ocorre? Mesmo com ciclos de vida maiores, o número de encontros em um dado período de tempo ainda é maior?
A resposta é simples. As duas espécies se encontram cada vez que temos um número de anos múltiplo de seus ciclos de vida. O período mínimo para que o encontro aconteça, será portanto o mínimo múltiplo comum (m.m.c) dos dois números. Para que este período seja maximizado, é necessário que este m.m.c seja o maior possível. Isto acontece exatamente quando os dois números envolvidos são primos.
A natureza parece ter escolhido estes dois períodos de maneira cuidadosa, de modo que a chance de encontros fosse minimizada.
Já que estes números primos são os blocos fundamentais da aritmética, assim como os elementos químicos os blocos constituintes da natureza, por analogia, deve ser importante entender quem eles são, e como se combinam.
A contribuição dos gregos
A escola grega foi um divisor de águas na história da matemática. Com os trabalhos de Euclides, Aristóteles, Ptolomeu, Apolonius, dentre outros, a matemática começou a deixar de ser alquimia, e tornar-se ciência.
Os matemáticos começaram a no lugar de colecionar fatos isolados, tentar entender o todo.
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| Estátua de Euclides |
Foi um destes gregos, Euclides, que estabeleceu os primeiros importantes resultados relativos a números primos. Euclides mostrou que eles de fato, são os átomos da aritmética, resultado que está contido no teorema abaixo. O leitor pode pular a prova do teorema sem nenhum prejuízo ao entendimento do texto.
Prova: Suponha que existam números que não podem ser escritos como produtos de primos, e considere o conjuntos \( S \) de todos estes números. Pelo princípio de boa ordem, este conjunto têm um elemento mínimo, digamos, \(s\). Como \(s\) não pode ser escrito como produto de primos, em particular \(s\) não é primo, e por definição, é divisível por um número \(k\), $( 1 < k < s )$. Desta forma, podemos escrever $( s=k \cdot m )$. Note que tanto \(k \) quanto \( m \) são menores que \( s \), e portanto não estão no conjunto \( S \), já que \( s \) é o menor elemento deste conjunto. Desta forma, ambos, \(k \) e \(m \) podem ser escritos como produtos de primos, e portanto \( s \), o produto destes dois números, também pode ser escrito como produtos de primos ( os que compõem \(k \) e \(m \) ). Mas isto é absurdo, já que \(s \in S \). Portanto, \( S \) deve ser vazio.
Isto mostra que todo número pode ser constituído através de combinações de primos, o que justifica a afirmação de que estes são os átomos da aritmética.
Bem, sabemos que existem tais átomos, mas ainda temos duas questões a responder: quem são, e quantos são estes elementos. Idealmente, gostaríamos de construir uma 'tabela periódica' ( não necessariamente periódica) dos 'elementos químicos' da aritmética.
A tabela periódica dos elementos químicos descobertos até hoje, é pequena, contém cerca de 110 elementos, e embora estejamos descobrindo novos elementos conforme as pesquisas em química nuclear avançam, creio que os químicos hão de concordar comigo que é natural esperar que haja somente um número finito de tais elementos.
Com números primos, não temos essa sorte. E este resultado é novamente devido a Euclides.
Teorema 2: Existem infinitos números primos.
Prova: Suponha que estes números sejam finitos, e liste-os: \({ p_1, p_2, ..., p_n}\). Considere então o número \( p=(p_1 \cdot p_2 \cdot \cdots \cdot p_n + 1) \). Este número não é divisível por nenhum dos números primos listados. Como estes são todos os primos, então \(p\) não pode ser primo. Por outro lado, pelo teorema 1 sabemos que todo número maior que 1 é produto de primos, em particular, p. Desta forma, existe um primo que divide p e não está na lista, o que é absurdo, já que a lista deveria conter todos eles. Portanto, nossa hipótese de que havia somente um número finito de primos está errada, o que prova o teorema.
by: Marlon Gomes
